どうしたら「数学的思考力」を鍛えられるの?(学ぶときの心がけ)
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どうしたら「数学的思考力」を鍛えられるの?(学ぶときの心がけ)

質問

数学が好きで、学校の「数学研究部」に所属しています。

しかし、どんなに好きでどんなにがんばっても、「数学的思考」や「数学的発想」ができません。

作文や英語の方は好きでもないのに得意のようです。

どうしたら、数学の「好き」という気持ちに合うだけの「数学的思考力」を鍛えられるでしょうか。

回答

ご質問ありがとうございます。

「数学が好き」なんて、とてもいいですね!

ところで、あなたのいう「数学的思考」というのは、具体的にどういう意味でしょうか

あなたは質問の中で「数学的思考」や「数学的発想」ができないと書いていますが、それは具体的に「何ができない」と言ってるのでしょうか。

想像して、いくつか列挙してみますね。

 ・計算ができない
 ・数式の変形が苦手
 ・計算や数式の変形に時間が掛かる
 ・方程式が解けない
 ・証明を読むことができない
 ・証明を思いつくことができない
 ・思いついた証明を書き表すことができない
 ・抽象的な概念がなかなか理解できない
 ・たくさんの定理や公式が覚えられない
 ・公式を覚えても適用ができない
 ・解法を適切なときに引き出せない
 ・そもそも、論理的な考え方ができない
 ・文章から数学的関係を取り出せない
 ・場合分けができない

いま思いつくまま列挙してみましたが、もちろんこれで「数学的思考ができない」ことを網羅しているわけではありませんし、各項目をさらにブレークダウンすることもできるでしょう。

自分が学校にいた時代には、クラスメートが解ける問題を自分が解けなかったり、誰かがすばやく理解することを自分が理解できなかったり、そういう経験が多々ありました。あなたもおそらく、そのような経験をする出来事があり、今回の質問を送ってくださったのだと想像します。

そういう「自分にはできない」経験をしたときには、

 自分はいったい《何が》できなかったのか?

を注意深く考えることをお勧めします。

つまり、「私には数学的思考力がないから問題が解けなかったのだ」のような極端な抽象化はやめましょうということです。そうではなく、自分が経験した出来事にもっと密着して、自分が解けなかった理由をぐぐぐっと考えるのです。

極端な抽象化は無意味です。簡単な例でいうと、計算ドリルでミスをしたときに、「私には計算力がないからミスをしたのだ」と考えても何の役にも立ちませんよね。

そうではなくて、自分のミスを注意深く観察して、

 ・繰り上がりをミスするのか、
 ・数字を読み間違えるのか、
 ・プラスマイナスの符号を間違えるのか、

という具体的な原因を確かめるでしょう。その上で、同じミスを繰り返さないための練習をします。

この計算ミスの話を一般化すると、あなたの場合への答えになるのはわかりますね。

「数学的思考力」と呼べるものは存在するでしょう。でもそれは、非常に多くの構成要素から作られているはずです。それは、ちょうど人間の筋肉のようなものです。「筋力」を鍛えるために「筋トレしなくちゃ」と考えるのは、悪いわけではありませんが、とても大ざっぱです。

筋肉はたくさんあるのですから、どの筋肉の筋力を鍛えるかを考える必要があります。「数学的思考力」についても、自分が体験したことから、

 ・どんなことを考えればよかったのか、
 ・何を見落としたのか、
 ・単に何かを記憶すれば解決するのか、
 ・練習が必要なのか、

のように考えを進めることが大事ではないでしょうか。

「筋トレしなくちゃ」みたいに大ざっぱな話ではなく、具体的な問題を通して、少しずつ自分の思考力を鍛えるのです。

問題を解く力は問題を解くことで養われ、証明を考える力は証明に取り組むことで養われます。いろんな問題を解き、証明に取り組み、そしてそこで得られた経験を自分の次の学びに生かすのです。

数をこなすことも必要ですが、やみくもに数をこなすだけではなく、問題を考え、解き、うまく行っても行かなくてもしっかり振り返る。その繰り返しが肝心だと思います。

以上のような態度は「数学的思考力」に留まらず、もっと広い「思考力」を鍛える方法ともいえるでしょう。

あなたには大きな武器があります。

それは「数学が好き」という気持ちです。

あなたが学んでいく上で「数学が好き」という気持ちは、とてつもなく大きな力となるはずです。

少しずつ、たゆみなく、学んでいきましょうね!

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結城浩の「コミュニケーションの心がけ」2018年1月30日 Vol.305 より

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本を書いて生活しています。著書は『数学ガール』『プログラマの数学』『数学文章作法』『暗号技術入門』など多数。詳しい活動内容は https://mm.hyuki.net/n/n5f00c9cd281c をご覧ください。2014年度の日本数学会出版賞を受賞しました。