やさしい素数クイズです。

左手の5本の指（親指、人差指、中指、薬指、小指）に、2以上の整数を順番に割り当てます。

ここでいう「順番に」というのは「1ずつ増えていく」という意味です。

割り当ての例をいくつか示しましょう。

　(A) 親指=2, 人差指=3, 中指=4, 薬指=5, 小指=6

上の割り当て(A)では、親指に2を割り当て、人差指には1増えた3を割り当て、中指にはさらに1増えた4を割り当て……となっています。

　(B) 親指=3, 人差指=4, 中指=5, 薬指=6, 小指=7

上の割り当て(B)では、3から始まって1ずつ増えています。

　(C) 親指=11, 人差指=12, 中指=13, 薬指=14, 小指=15

上の割り当て(C)では、11から始まっています。

　(D) 親指=1234567, 人差指=1234568, 中指=1234569, 薬指=1234570, 小指=1234571

上の割り当て(D)では、1234567という巨大な数から始まっています。

では、ここで問題です。

上で説明したような割り当てはもちろん無数にありますが、《親指・中指・小指に割り当てた数がすべて素数になる》のは、親指が3の場合だけ（つまり上記の(B)の場合だけ）であることを証明してください。なお、素数というのは、1とそれ自身だけで割り切れる2以上の整数です。

※以下に解答があります。解答が見えてしまわないように画像をはさんでおきますね。画像の後、すぐに解答があります。

※こういうクイズが大好きな方は、結城の本『数学ガールの秘密ノート／整数で遊ぼう』も気に入っていただけると思いますよ。

●解答

《指に割り当てた整数を3で割った余り》に注目します。

このとき、《指に割り当てた整数を3で割った余り》は以下のa, b, cのパターンのいずれかになります。

　パターンa (親,人,中,薬,小) = (0,1,2,0,1)
　パターンb (親,人,中,薬,小) = (1,2,0,1,2)
　パターンc (親,人,中,薬,小) = (2,0,1,2,0)

いま注目している親指・中指・小指だけにしますと、次のようになります。

　パターンa (親,中,小) = (0,2,1)
　パターンb (親,中,小) = (1,0,2)
　パターンc (親,中,小) = (2,1,0)

ここで《3で割った余りが0になる指》に注目します。

3で割った余りが0になるのは、パターンaでは親指、パターンbでは中指、パターンcでは小指です。

《3で割った余りが0になる整数》というのは、言い換えれば《3の倍数》です。

ということは、a,b,cのどのパターンでも《親指・中指・小指のどれかひとつには必ず3の倍数が割り当てられる》ことになります。

3の倍数のうち素数なのは3だけですから、親指・中指・小指のすべてが素数になるためには《親指・中指・小指に割り当てる整数のどれかひとつは3》でなければなりません。

・親指が3の場合、親指、中指、小指に割り当てる数は3, 5, 7となり、すべて素数になります。

・中指が3の場合、親指が1になってしまい、指に割り当てる数は2以上という条件に反します。

・小指が3の場合、中指が1になってしまい、指に割り当てる数は2以上という条件に反します。

以上のことから《親指・中指・小指に割り当てた数がすべて素数になる》のは、親指が3の場合だけであることが示されました。

（証明終わり）

※2006年2月17日の「結城浩の日記」から。
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