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√xの定義についての対話(思い出の日記)

※全文を公開している「投げ銭」スタイルのノートです。

先生「√xの定義は何ですか?」

生徒「xっていうのは何ですか?」

先生「ここではxは実数だとしましょうか。√xの定義は何ですか?」

生徒「√xとは、二乗してxになる数です」

先生「そうですか?」

生徒「だって、√4は2ですし、2を二乗すると4になりますよね」

先生「はい。√4は2に等しいですし、2を二乗すると4に等しくなります。でも、√xの定義は「二乗してxになる数」ではありません

生徒「?」

先生「√xの定義が「二乗してxになる数」だとすると、「x^2 = 4(xの二乗イコール4)」という二次方程式の解は√4つまり2ということになります。そうですか?」

生徒「あ、違いますね。x^2 = 4の解は、±2(プラスマイナス2)です」

先生「そうですね。正(せい)の数2と、負(ふ)の数-2の二つがあります」

生徒「では、√xの定義は、「二乗してxになる数」ではなく、「二乗してxになる数のうちの正のほう」なのですね!」

先生「そうですか?」

生徒「違いますか?」

先生「xが正ならば、あなたの答えで正しいですけれど…」

生徒「xが正ならば…。そうか、xがゼロのときは、√xはゼロですね。「正のほう」という表現ではまずい?」

先生「まずいですね」

生徒「√xの定義は、「二乗してxになる数のうちゼロか正のほう」ですね!」

先生「そのことはよく、「二乗してxになる数のうち負でないほう」と表現します」

生徒「何だか素直じゃない言い回しですね…」

先生「定義としてはここまでで大丈夫です。xは実数としましたから…負の数についても考えてみましょう」

生徒「はあ」

先生「実数は必ず、正か、ゼロか、負かのいずれかですから」

生徒「はい…ええと、xが負のとき、√xは…あれ? 未定義、ですか?」

先生「はい、そうです。実数の範囲だけで考えるなら、xが負のとき、√xは実数の範囲では存在しません。xが負のとき√xは未定義といってもいいです。複素数まで考えれば未定義ではありませんけれど」

生徒「√xの定義は「二乗してxになる数のうち負でないほう」なのですね。そして、xが負なら、そのような実数は存在しない」

先生「はい、そうなります。「実数の範囲では」とか「xが負なら」といった条件がつくのが、もどかしいですね。でも、もうすこし学習が進んでいくと、美しい形でその条件を取り去ることができます。それを楽しみにしましょう」

生徒「でも、なんだか、ややこしいですね」

先生「y = √xのグラフを描いてみると、もう少しわかりやすいかもしれません」

生徒「これは…放物線ですね」

先生「放物線ですけれど、原点及び、x軸よりも上の部分がy = √xのグラフになります」

生徒「それはどういうことでしょうか」

先生「y = √xのグラフをよく観察してみましょう。x < 0のとき、グラフに対応する点はありません」

生徒「はあ」

先生「それは、ちょうど、√xに対応する実数が存在しないことをあらわします」

生徒「x = 0のときは、原点Oですね」

先生「はい。原点は、「√xはx = 0のとき0に等しい」ということに対応しています」

生徒「なるほど」

先生「そしてx > 0のときは、x軸より上と、x軸より下(そちらは破線で表しています)に、
「二乗するとxになる数」があります。上と下とで二つ、ですね。そして、√xは…」

生徒「ははあ、√xは、上の方ですね」

先生「そうなります。それが「二乗してxになる数のうち負でないほう」に対応しているのです」

生徒「なんとなくわかりましたけれど、グラフとの対応はもう一度ゆっくり考えないとわからないです」

先生「はい。ゆっくり考えてください」

■まとめ(すべて実数の範囲で考えるとする)

・「二乗するとxになる数」は…
    x < 0 のときは存在しない
    x = 0 のときは唯一存在する(0である)
    x > 0 のときは二つ存在する(√x と -√x である)
 である。
・「√xの定義」は…
    二乗するとxになる数のうち、負でないほう
 である。

※2014年01月23日の「結城浩の日記」から。
http://www.hyuki.com/d/

※Photo by webtreats.
https://www.flickr.com/photos/webtreatsetc/4185326903/

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結城浩

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結城浩

書籍執筆者。著書に『数学ガール』『プログラマの数学』『数学文章作法』『暗号技術入門』など。http://bit.ly/hyuki-mm にて「結城メルマガ」をnote配信中。https://bit.ly/girlnote にてcakes連載中。2014年度日本数学会出版賞受賞。

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